En esta nota se definirá un nuevo operador de Dirac fraccionario construido con un conjunto estructural φ para posteriormente obtener una descomposición de Fischer en términos de funciones (φ,ψ)-inframonogénicas. Este operador de Dirac y la variable fraccionaria generan una superálgebra de Lie isomorfa a osp(1|2). Dicha álgebra se presenta en los modelos minimales superconformes y en la cuantización de la supergravedad. Como consecuencia de la ausencia de conmutatividad se mostrarán algunas características que difieren generalmente de las que se conocen en el caso armónico clásico.

Palabras clave: Descomposición de Fischer, Operador de Dirac fraccionario, Relaciones de Weyl, Funciones inframonogénicas, matemáticas.

In this note we will define a new fractional Dirac operator constructed with a structural set φ to subsequently obtain a Fischer decomposition in terms of (φ,ψ)-inframonogenic functions. This Dirac operator and the fractional variable generate a Lie superalgebra isomorphic to osp (1|2). Such an algebra occurs in superconformal minimal models and in supergravity quantization. As a consequence of the absence of commutativity some features will be shown which differ generally from those known in the classical harmonic case.

Keywords: Fischer decomposition, fractional Dirac operator, Weyl relations, inframonogenic functions, mathematics.

Resumo

Esta nota define um novo operador de Dirac fracionário construído com um conjunto estrutural φ para obter, posteriormente, uma decomposição de Fischer em termos de funções inframonogênicas (φ,ψ). Este operador de Dirac e a variável fracionária geram uma superálgebra de Lie isomorfa a osp(1|2). Esta álgebra aparece em modelos mínimos superconformes e na quantização da supergravidade. Como consequência da ausência de comutatividade, serão mostradas algumas características que geralmente diferem daquelas conhecidas no caso harmônico clássico.

Palavras-chave: Decomposição de Fischer, Operador de Dirac fracionário, Relações de Weyl, Funções inframonogênicas, matemática.

Las funciones inframonogénicas son las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones diferenciales parciales de segundo orden:

𝜕[𝑓]𝜕 = 0,

donde

−𝜕^𝜓𝜕^𝜓[𝑓] = −[𝑓]𝜕^𝜓𝜕^𝜓 = Δ

se satisfacen si y solo si 𝜓_𝑖𝜓_𝑗 + 𝜓 _𝑗𝜓_𝑖 = −2𝛿 _𝑖,𝑗 , donde

𝛿_𝑖,𝑗 denota a la delta de Kronecker. Aprecie que la factorización en la ecuación anterior se tiene si y solo si 𝜓 representa una base ortonormal de ℝ^𝑚. Un conjunto 𝜓 con esta propiedad es llamado conjunto estructural. Nõno

𝜕

_{�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link1}𝜕 ≔ 𝑒_1𝜕𝑥

𝜕

_{�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link2}+ 𝑒_2𝜕𝑥

𝜕

�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link𝑚+ ⋯ + 𝑒 _𝑚𝜕𝑥 ,

(1983) fue uno de los primeros matemáticos que estudió estas generalizaciones dentro del Análisis Cuaterniónico y posteriormente en el contexto del Análisis de Clifford. El

denota al operador de Dirac en ℝ^𝑚 construido con los generadores {𝑒₁, 𝑒 ₂, … , 𝑒 _𝑚} del álgebra de Clifford real ℝ_0,𝑚. Tales funciones fueron originalmente introducidas por Malonek et al. (2010) cuando estos hallaron una descomposición de Fischer para el espacio de polinomios homogéneos en términos de polinomios inframonogénicos. Estas exóticas funciones tienen particulares relaciones con temas afines de la Elasticidad Lineal como la posibilidad de describir el espacio de soluciones del sistema de Lamé- Navier.

El operador de Dirac en estas álgebras factoriza al clásico operador de Laplace en el sentido de que

𝜕² = −Δ .

La ecuación

𝜕[𝑓]𝜕 = 0 ,

es conocida en la literatura como ecuación sándwich y puede ser vista como una versión no conmutativa de la conocida ecuación de Laplace. Usando el Cálculo Vectorial la anterior ecuación sándwich restringida a campos vectoriales tridimensionales 𝑓 = 𝑢⃗→ ∈ ℝ ³ puede ser reescrita como:

grad(div 𝑢⃗→) + rot²𝑢⃗→ = 0.

Note que la ecuación de Laplace toma la siguiente forma también:

grad(div 𝑢⃗→) − rot²𝑢⃗→ = 0.

Este sutil cambio de signo provoca que ambas ecuaciones sean totalmente diferentes en numerosos aspectos como, por ejemplo, la elipticidad fuerte.

Sea el conjunto 𝜓 = {𝜓 ₁, 𝜓 ₂, . . . , 𝜓 _𝑚} ⊂ ℝ ^𝑚. En la clase de funciones 𝐶¹(Ω, ℝ _0,𝑚), donde Ω es un dominio abierto

término conjunto estructural se utiliza por vez primera relacionado al Análisis Cuaterniónico en el trabajo de Shapiro y Vasilevski (1995). Las funciones que anulan a dichos operadores de Dirac se conocen con el nombre de funciones 𝜓-hiperholomorfas y poseen un rol esencial en el establecimiento de soluciones alternativas del tipo Papkovic-Neuber. El uso de conjuntos estructurales arbitrarios posibilita el estudio de una gama de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales que generalizan a la anterior ecuación sándwich y por ende a las funciones inframonogénicas. La ecuación sándwich generalizada

𝜕^𝜑𝑓𝜕^𝜓 = 0 surge de forma natural al considerar dos bases ortonormales arbitrarias: 𝜑 y 𝜓. Las soluciones de esta ecuación son referenciadas como funciones (𝜑, 𝜓) - inframonogénicas (Alfonso-Santiesteban et al., 2022) y son una generalización de las ya conocidas funciones inframonogénicas. El principal objetivo de este trabajo es mostrar las descomposiciones de Fischer para el espacio de polinomios homogéneos de ℝ^𝑚 en términos de funciones (𝜑, 𝜓) -inframonogénicas y extender estos resultados al contexto fraccionario.

Los métodos de investigación utilizados en el desarrollo de este trabajo estuvieron determinados por los objetivos y las tareas de investigación. A nivel teórico se emplearon los métodos: histórico-lógico, análisis y síntesis, inducción y deducción, y a nivel empírico: el experimental y la modelación; todos de gran utilidad en el estudio de fuentes de información y en el procesamiento de los fundamentos científicos. Se hace necesario el uso de un cuerpo teórico enfocado al Álgebra No Conmutativa y al Cálculo Fraccionario que a grandes rasgos incluye al producto de Fischer, la derivada de Caputo, las relaciones de Weyl y el operador de Dirac sobre un fibrado espinorial.

6.

de ℝ^𝑚 , se definen respectivamente los operadores de

El álgebra de Clifford ℝ se genera mediante la base

Dirac por la izquierda y por la derecha como:

0,𝑚

canónica {𝑒₁, 𝑒₂, … , 𝑒_𝑚} de ℝ^𝑚

, sujeta a las relaciones

𝑚

𝜕^𝜓𝑓 = ∑ 𝜓

𝜕𝑓

,

�unable to handle picture here, no embed or link

𝑚

�unable to handle picture here, no embed or link𝑓𝜕^𝜓 = ∑ ^𝜕𝑓 𝜓 .

multiplicativas:

�unable to handle picture here, no embed or link

𝑖=1

Las igualdades:

^𝑖 𝜕𝑥_𝑖

�unable to handle picture here, no embed or link

𝑖=1

𝜕𝑥_𝑖 ^𝑖

𝑒² = −1, 𝑒_𝑖𝑒_𝑗 = −𝑒_𝑗𝑒_𝑖, 𝑖, 𝑗 = 1,2, … , 𝑚, 𝑖 < 𝑗.

�unable to handle picture here, no embed or link𝑖Dicha álgebra asociativa y no conmutativa constituye el espacio lineal 2^𝑚 -dimensional generado por los 𝑘 -

vectores que forman los elementos de la base canónica, es decir:

se obtiene que ||𝑥|| = |𝑥|, la usual norma Euclidiana. Se considerarán funciones definidas sobre dominios Ω ⊂ ℝ^𝑚 y que toman valores en ℝ_0,𝑚. Estas funciones pueden ser

^ℝ0,𝑚

_=〈 1, 𝑒₁, 𝑒₂, … , 𝑒_𝑚, 𝑒₁𝑒₂, 𝑒₁𝑒₃, … , _〉.

𝑒_𝑚−1𝑒_𝑚, 𝑒 ₁𝑒₂𝑒₃, … , 𝑒 ₁𝑒₂ ⋯ 𝑒_𝑚

escritas como 𝑓 = ∑_𝐴 𝑓_𝐴𝑒_𝐴, donde 𝑓_𝐴 son funciones reales. Las nociones de continuidad, diferenciabilidad e integrabilidad tienen el usual sentido a través de todas sus

Estas álgebras fueron introducidas por el matemático

inglés William Kingdon Clifford allá por el año 1878 y representan una generalización multidimensional de los números complejos. Las álgebras de Clifford tienen innumerables aplicaciones, como operar de una manera efectiva con las rotaciones en un espacio de alta dimensión mediante los llamados grupos espinoriales, donde un ejemplo particular es el grupo de Lorentz de la Relatividad Especial. Además, estas permiten reinterpretar y manipular algebraicamente muchos conceptos de interés

componentes reales, o sea, una función 𝑓 será continua si todas sus componentes reales 𝑓_𝐴 lo son (Brackx et al., 1982). En las últimas décadas el estudio del operador de Dirac ha sido el tema central en muchas áreas de la matemática. La consideración de propiedades locales de las soluciones de este operador ha conducido a una teoría de funciones, comúnmente conocida como Análisis de Clifford (Gürlebeck y Nguyen, 2014; Liu y Hong, 2018). El operador de Dirac se define como:

dentro de la Física Teórica, la Computación y la Geometría. El espacio Euclidiano ℝ^𝑚 está inmerso en el álgebra de Clifford ℝ_0,𝑚 al identificar cada vector (𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑚) ∈

𝜕

_{�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link1}𝜕 ≔ 𝑒_1𝜕𝑥

𝜕

_{�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link2}+ 𝑒_2𝜕𝑥

𝜕

�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link𝑚+ … + 𝑒 _𝑚𝜕𝑥 ,

�unable to handle picture here, no embed or link𝑖=1ℝ^𝑚 con el vector Cliffordiano 𝑥 = ∑^𝑚 𝑒_𝑖𝑥_𝑖 . Cualquier

elemento 𝑎 ∈ ℝ_0,𝑚 puede ser escrito como 𝑎 = ∑_𝐴 𝑎_𝐴𝑒_𝐴, donde 𝑎_𝐴 son constantes reales y 𝐴 recorre todos los posibles conjuntos ordenados 𝐴 = {1 ≤ 𝑖₁ < ⋯ < 𝑖_𝑘 <

⋯ ≤ 𝑚} o 𝐴 = ∅, y 𝑒_𝐴 = 𝑒 _𝑖1 𝑒_𝑖2 … 𝑒 _𝑖𝑘 . Note que entonces

y las funciones que lo anulan son conocidas como monogénicas. El operador de Dirac tiene el mismo rol en esta teoría que el clásico operador de Cauchy-Riemann para las funciones holomorfas del plano complejo. Una

función que toma valores en ℝ , definida y diferenciable

cualquier 𝑎 ∈ ℝ_0,𝑚 se puede reescribir de forma única como 𝑎 = [𝑎]₀ + [𝑎]₁ + ⋯ + [𝑎]_𝑚, donde [⋅]_𝑘 denota la

proyección de ℝ en ℝ^(𝑘) . Aquí ℝ^(𝑘) denota al

0,𝑚

en un abierto Ω de ℝ^𝑚 , es llamada monogénica por la izquierda (monogénica por la derecha) en Ω si 𝜕𝑓 =

0,𝑚

0,𝑚

0,𝑚

0 (𝑓 𝜕 = 0) en Ω. El operador de Dirac puede construirse

�unable to handle picture here, no embed or link0,𝑚subespacio de 𝑘 -vectores definido por ℝ^(𝑘) = span_ℝ(𝑒_𝐴: |𝐴| = 𝑘 ) . Es costumbre identificar a ℝ con

considerando una base ortonormal arbitraria de ℝ^𝑚 y se define de la siguiente forma:

ℝ⁽⁰⁾ (los conocidos escalares en ℝ ) y ℝ^𝑚 con ℝ⁽¹⁾ ≅

0,𝑚

0,𝑚

0,𝑚 _𝑚

�unable to handle picture here, no embed or link0,𝑚�unable to handle picture here, no embed or link0,𝑚ℝ^𝑚 (el conjunto de vectores). Los elementos en ℝ⁽²⁾ son llamados bivectores, mientras que los elementos en ℝ^(𝑚) son nombrados pseudoescalares. Un multivector es par o

_𝜕𝜑

≔ ∑ 𝜑 _𝑖

𝑖=1

𝜕

�unable to handle picture here, no embed or link,

𝜕𝑥_𝑖

impar si pertenece a ℝ^(𝑘) siendo 𝑘 par o impar,

donde 𝜑 = {𝜑 , 𝜑 , . . . , 𝜑

} denota a dicha base (Nõno,

0,𝑚

1 2 𝑚

respectivamente. El producto de un 1-vector 𝑢 y un 𝑘- vector 𝐹_𝑘 estará dado por un (𝑘 − 1) -vector y un (𝑘 + 1) - vector:

𝑢𝐹_𝑘 = [𝑢𝐹_𝑘]_𝑘−1 + [𝑢𝐹_𝑘]_𝑘+1,

donde

1983). En la literatura, el término conjunto estructural es atribuido a estas bases ortonormales (Shapiro y Vasilevski, 1995). Así se introducen las funciones 𝜑-hiperholomorfas (por la izquierda o derecha, respectivamente) como las funciones que pertenecen a Ker[𝜕^𝜑(. )] o Ker[(. ) 𝜕^𝜑] (Gürlebeck y Nguyen, 2014; Abreu-Blaya et al., 2017). El anterior operador también factoriza al operador de Laplace como el operador de Dirac estándar. Dado otro conjunto

[𝑢𝐹 ]

1

= [𝑢𝐹

− (−1)^𝑘𝐹 𝑢]

estructural 𝜓 = {𝜓 ₁, 𝜓 ₂, … , 𝜓 _𝑚} , recientemente se ha

𝑘 𝑘−1 ₂ 𝑘 𝑘

y

estudiado la siguiente subclase de funciones biarmónicas:

[𝑢𝐹 ]

1

= [𝑢𝐹

+ (−1)^𝑘𝐹 𝑢].

ℑ_𝜑,𝜓(Ω) = {𝑓 ∈ C²(Ω): 𝜕^𝜑𝑓𝜕^𝜓 = 0},

�unable to handle picture here, no embed or link �unable to handle picture here, no embed or link

𝑘 𝑘+1 ₂ 𝑘 𝑘

�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or linkEl producto interior y exterior entre 𝑢 y 𝐹_𝑘 serán definidos por 𝑢 ⋅ 𝐹_𝑘: = [𝑢𝐹_𝑘]_𝑘−1 y 𝑢 ∧ 𝐹_𝑘: = [𝑢𝐹_𝑘]_𝑘+1 , respectivamente. La conjugación en ℝ_0,𝑚 es definida como el anti-automorfismo 𝑎 → 𝑎, donde 𝑒_𝑖 = −𝑒_𝑖 ∀𝑖 ∈

{1, … , 𝑚} . Una norma ||. || sobre ℝ_0,𝑚 es definida por

�unable to handle picture here, no embed or link||𝑎||² = [𝑎𝑎]₀ para 𝑎 ∈ ℝ_0,𝑚. Observe que para 𝑥 ∈ ℝ^𝑚

las cuales fueron nombradas como (𝜑, 𝜓) - inframonogénicas (Alfonso-Santiesteban et al., 2022).

Observación 1. Cuando 𝜑 = 𝜓 = {𝑒₁, 𝑒 ₂, … , 𝑒 _𝑚} la clase funcional anterior se convierte en la clase de las funciones inframonogénicas, cuyas interesantes relaciones con el sistema de Lamé-Navier en Elasticidad Lineal y otros

temas afines han sido objeto de estudio por numerosos investigadores (Malonek et al., 2010; Moreno-García et al., 2018; Alfonso-Santiesteban, 2024). Dichas funciones pueden verse como una versión no conmutativa de las conocidas funciones armónicas; pero se ha comprobado que existen significativas diferencias entre ambas como, por ejemplo, que el problema de Dirichlet deja de ser bien planteado en el sentido de Hadamard.

Observación 2. El campo vectorial de desplazamiento de los puntos de un material elástico, lineal, isótropo, homogéneo y sin fuerzas de volumen es descrito por el famoso sistema de Lamé-Navier:

μΔ𝑢⃗→ +(μ + λ)grad(div 𝑢⃗→)= 0,

fraccionario utilizando la derivada de Caputo y unas relaciones de Weyl. Ellos obtuvieron una descomposición de Fischer mediante funciones que anulan a dicho operador.

La definición de polinomio homogéneo es básica para comprender los resultados de esta investigación:

�unable to handle picture here, no embed or linkDefinición 1. (Polinomio homogéneo). Un polinomio es homogéneo si cada uno de sus monomios tiene el mismo grado.

Observación 3. Un polinomio homogéneo en ℝ^𝑚satisface la siguiente relación

𝑃(𝛽𝑥₁, 𝛽𝑥₂, … , 𝛽𝑥_𝑚) = 𝛽^𝑙𝑃(𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑚),

donde𝜇 > 0y

𝜆 > − ² 𝜇

�unable to handle picture here, no embed or link3

son constantes elásticas que

donde 𝛽 ∈ ℝ y 𝑙 es el grado del polinomio.

dependen del material. En 2018 se obtuvo sobreℝ_0,3 una reescritura del sistema de Lamé-Navier mediante el operador de Dirac estándar:

Un producto interior 〈. , . 〉 en el espacio de polinomios homogéneos de grado 𝑘, el cual se denotará por 𝒫(𝑘), es definido por:

𝜇 + 𝜆

�unable to handle picture here, no embed or link𝜕𝑢→𝜕 −

2

3𝜇 + 𝜆

�unable to handle picture here, no embed or linkΔ𝑢→ = 0

2

〈𝑃_𝑘, 𝑄 _𝑘〉 = [𝑃̅̅ ^̅(̅̅𝜕̅̅)̅𝑄_𝑘]

�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link𝑘0

, 𝑃_𝑘, 𝑄 _𝑘 ∈ 𝒫 (𝑘).

y se probó que cualquier solución del sistema admite la descomposición aditiva:

𝑢⃗→ = ℎ⃗^→ + 𝚤→,

dondeℎ^→ e𝚤→denotan a un campo vectorial armónico e inframonogénico, respectivamente (Moreno-García et al., 2018). La consideración de bases ortonormales arbitrarias en la construcción del operador de Dirac posibilita el estudio de una generalización natural del sistema de Lamé- Navier:

Este producto es conocido como producto de Fischer, y cumple las siguientes dos propiedades importantes dados dos conjuntos estructurales 𝜑 y 𝜓:

〈𝑥_𝜑𝑃_𝑘−2𝑥_𝜓, 𝑄 _𝑘〉 = 〈𝑃_𝑘−2, 𝜕^𝜑𝑄_𝑘𝜕^𝜓〉,

〈𝑥_𝜓𝑥_𝜑𝑃_𝑘−2, 𝑄 _𝑘〉 = 〈𝑃_𝑘−2, 𝜕^𝜑𝜕^𝜓𝑄_𝑘〉,

donde

�unable to handle picture here, no embed or link𝑖=1�unable to handle picture here, no embed or link𝑖=1𝑥_𝜑 = ∑^𝑚 𝜑_𝑖𝑥_𝑖, 𝑥_𝜓 = ∑^𝑚 𝜓_𝑖𝑥_𝑖 y 𝑃_𝑘−2 ∈ 𝒫 (𝑘 − 2 ).

�unable to handle picture here, no embed or link𝜇 + 𝜆 2

𝜕^𝜑𝑢→𝜕^𝜓 +

3𝜇 + 𝜆

�unable to handle picture here, no embed or link

2

𝜕^𝜑𝜕^𝜓𝑢→ = 0,

Denótese por ℐ_𝜑,𝜓(𝑘) ⊂ 𝒫(𝑘) al conjunto de todos los

polinomios homogéneos (𝜑, 𝜓) -inframonogénicos de grado 𝑘. El siguiente teorema de Alfonso-Santiesteban et

la cual favorece nuevas descomposiciones aditivas de las soluciones de sistemas de Lamé-Navier no homogéneos.

En 1917 Ernst Fischer demuestra que dado un polinomio

al. (2024) brinda una descomposición de Fischer por polinomios de este tipo:

Teorema 1. Sea 𝑘 ≥ 2 , entonces la siguiente descomposición se cumple:

homogéneo 𝑞(𝑥) con 𝑥 ∈ ℝ^𝑚 , entonces todo polinomio homogéneo 𝑃_𝑘(𝑥) de grado 𝑘 puede ser descompuesto

𝒫(𝑘)= ℐ_𝜑,𝜓

(𝑘) ⊕ 𝑥 _𝜑

𝒫(𝑘 − 2)𝑥_𝜓.

únicamente como 𝑃_𝑘(𝑥) = 𝑄 _𝑘(𝑥) + 𝑞 (𝑥)𝑅(𝑥) , donde

𝑄_𝑘(𝑥) es un polinomio homogéneo de grado 𝑘 que satisface la ecuación 𝑞(𝜕)𝑄_𝑘(𝑥) = 0 y 𝑅(𝑥) es un

polinomio homogéneo de un grado adecuado. Aquí 𝑞(𝜕)

�unable to handle picture here, no embed or link𝜑 𝜑,𝜓 �unable to handle picture here, no embed or link𝜓es el operador diferencial que se tiene al reemplazar en el

Además, los subespacios ℐ_𝜑,𝜓(𝑘) y 𝑥_𝜑𝒫(𝑘 − 2)𝑥_𝜓 son ortogonales con respecto del producto de Fischer y se obtiene la siguiente descomposición completa:

𝑘

⌊₂⌋

polinomio 𝑞 cada variable 𝑥_𝑗 por la correspondiente

𝒫(𝑘) = ⨁ 𝑥^𝑠 ℐ

(𝑘 − 2𝑠)𝑥^𝑠 .

derivada parcial 𝜕_𝑥𝑗 (identificación de Fourier). Hoy en día esta descomposición lleva su nombre. Uwe Kähler y Nelson Vieira introducen en el 2014 un operador de Dirac

𝑠=0

La anterior descomposición puede extenderse si se considera una colección de conjuntos estructurales que

conforman a diferentes operadores de Dirac. De esta manera surgen las llamadas funciones (Φ, 𝚿) - infrapolimonogénicas como aquellas funciones que satisfacen la ecuación de orden superior:

Note que estas relaciones de Weyl generalizan la siguiente relación con la derivada usual

𝑑 𝑑

�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link(𝑥𝑓) − 𝑥 (𝑓) = 𝑓.

𝜕^𝜑1 𝜕^𝜑2 … 𝜕^𝜑𝑟𝑓𝜕^𝜓1 𝜕^𝜓2 … 𝜕^𝜓𝑠 = 0,

𝑑𝑥

𝑑𝑥

donde Φ = {𝜑₁, 𝜑 ₂, … , 𝜑 _𝑟} y 𝚿 = {𝜓₁, 𝜓 ₂, … , 𝜓 _𝑠} son dos colecciones de conjuntos estructurales. Si se denota al espacio de polinomios homogéneos (Φ, 𝚿) - infrapolimonogénicos de grado 𝑘 por ℐ_Φ,𝚿(𝑘) entonces siguiendo un razonamiento análogo al desarrollado para la anterior descomposición se obtiene la siguiente descomposición de Fischer:

_⌊ 𝑘 _⌋ (𝑟+𝑠)

�unable to handle picture here, no embed or link1�unable to handle picture here, no embed or link1�unable to handle picture here, no embed or link𝑠�unable to handle picture here, no embed or link𝑟^{𝑡 𝑡}𝒫(𝑘) = ⨁ (𝑥 _𝜑 … 𝑥 _𝜑 ) ℐ _Φ,𝚿(𝑘 − 2𝑡 )(𝑥_𝜓 … 𝑥 _𝜓 ) .

𝑡=0

Sobre el producto tensorial ℂ_𝑚 = ℂ ⊗ ℝ_0,𝑚 y siendo 0 < 𝛼 ≤ 1 se introducen los vectores fraccionarios siguientes:

𝑚

𝑥^𝛼 = ∑ 𝜑 _𝑗𝑥^𝛼

Las siguientes dos definiciones son esenciales en este trabajo:

Definición 2. (Superálgebra sobre un campo 𝐾 ).Una superálgebra sobre un campo 𝐾 es un 𝐾-módulo 𝐴 con una descomposición en suma directa 𝐴 = 𝐴₀ ⊕ 𝐴 ₁ junto con un producto bilineal tal que 𝐴_𝑖𝐴_𝑗 ⊆ 𝐴_𝑖+𝑗, 𝑖, 𝑗 ∈ ℤ ₂.

Las álgebras de Clifford son superálgebras sobre un campo determinado 𝐾 . En estas los subespacios de multivectores pares e impares ejercen el rol de las componentes de la descomposición aditiva presentada en la anterior definición. En la literatura se utiliza el término de álgebra graduada por la existencia de bases de multivectores pares e impares.

�unable to handle picture here, no embed or linkDefinición 3. (Superálgebra de Lie). Una superálgebra de Lie es una superálgebra no asociativa sobre un campo 𝐾

cuyo producto [. , . ] (supercorchete de Lie) satisface:

con

�unable to handle picture here, no embed or link𝑗𝑥^𝛼 = {

𝜑 𝑗

𝑗=1

exp (𝛼 ln |𝑥_𝑗|); 𝑥_𝑗 > 0, 0; 𝑥_𝑗 = 0,

[𝑥, 𝑦 ] = − (−1)^|𝑥||𝑦|[𝑦, 𝑥] (superantisimetría),

(−1)^|𝑥||𝑧|[𝑥, [𝑦, 𝑧]] + (−1)^|𝑦||𝑥|[𝑦, [𝑧, 𝑥]] +

exp (𝛼 ln|𝑥_𝑗| + 𝑖𝛼𝜋); 𝑥_𝑗 < 0.

Remitimos al lector a consultar el trabajo preliminar de Kähler y Vieira (2014) que aborda muchas de estas ideas del Análisis de Clifford fraccionario. Se define el operador de Dirac fraccionario con respecto del conjunto estructural

𝜑 de la siguiente forma:

𝑚

�unable to handle picture here, no embed or link𝛼 𝑗 + 𝑗𝜕^𝜑 = ∑ 𝜑 ^𝐶𝜕^𝛼,

𝑗=1

�unable to handle picture here, no embed or link+ 𝑗donde ^𝐶𝜕^𝛼 denota a la derivada de Caputo con respecto a

�unable to handle picture here, no embed or link𝑗𝑥^𝛼:

�unable to handle picture here, no embed or link+ 𝑗( ^𝐶𝜕^𝛼𝑓)(𝑥^𝛼) =

�unable to handle picture here, no embed or link𝑥𝛼

𝑗

(−1)^|𝑧||𝑦|[𝑧, [𝑥, 𝑦 ]] = 0 (superidentidad de Jacobi).

�unable to handle picture here, no embed or link𝜑El vector fraccionario 𝑥^𝛼 y el operador de Dirac

�unable to handle picture here, no embed or link𝛼𝜕^𝜑generan una superálgebra de Lie finita dimensional e isomorfa a osp(1|2), la cual es una extensión gradual del álgebra de Lie sl(2) (matrices reales de 2 × 2 con traza nula y con el corchete de Lie dado por el conmutador, las cuales se asocian al grupo especial lineal SL(2) de matrices con determinante igual a 1). La superálgebra de Lie osp(1|2) puede considerarse la más simple y puede ser vista como la versión supersimétrica de sl(2) . Contiene tres generadores bosónicos o pares 𝐸⁺, 𝐸 ⁻, 𝐻 (transforman estados bosónicos en estados bosónicos y estados fermiónicos en estados fermiónicos) y dos generadores fermiónicos o impares 𝐹⁺, 𝐹 ⁻ (transforman estados bosónicos en estados fermiónicos y viceversa), cuyas relaciones de conmutación no nulas en la base de Cartan-Weyl se expresan como:

�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link¹ ∫ ¹ 𝑓^′(𝑥^𝛼, … , 𝑥 ^𝛼 , 𝑡, 𝑥 ^𝛼 , … , 𝑥 ^𝛼 )𝑑𝑡 . 1

Γ(1 − 𝛼)

0

(𝑥^𝛼

𝛼 𝑡 1

�unable to handle picture here, no embed or link𝑗− 𝑡)

𝑗−1

𝑗+1 𝑚

[𝐻, 𝐸 ^±] = ±𝐸 ^±, [𝐻, 𝐹 ^±] = ±

2

𝐹^±, [𝐸^±, 𝐹 ^∓] = −𝐹 ^±,

Con el fin de arribar a una descomposición fraccionaria sean las relaciones de Weyl:

[𝐸⁺, 𝐸⁻] = 2𝐻, {𝐹⁺, 𝐹⁻}

La relación nula sería

1

= 𝐻, 2

{𝐹^±, 𝐹 ^±}

1

= ± 𝐸^±.

2

[ ^𝐶𝜕^𝛼, 𝑥^𝛼] ≔ ^𝐶𝜕^𝛼𝑥^𝛼 − 𝑥^{𝛼 𝐶}𝜕^𝛼 = 𝛼Γ(𝛼),

∀𝑗 ∈ {1, … , 𝑚}.

[𝐸^±, 𝐹^±] = 0.

+ 𝑗 𝑗

+ 𝑗 𝑗

𝑗 + 𝑗

La versión afín de osp(1|2) es relacionada con los modelos minimales superconformes por el procedimiento

�unable to handle picture here, no embed or link �unable to handle picture here, no embed or link

√3 √2

�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link𝜓 = { 𝑒 ₁ − 𝑒₂ −

3 2

�unable to handle picture here, no embed or link �unable to handle picture here, no embed or link �unable to handle picture here, no embed or link

√6 √3 √2

_{�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link}𝑒₃, 𝑒₁ + 𝑒₂

6 3 2

de reducción hamiltoniana y también aparece en la cuantización de la supergravedad en dos dimensiones. Algunos de los modelos que surgen de esta superálgebra están conectados con las supercuerdas no-críticas de Ramond-Neveu-Schwarz.

Denotaremos por Π_𝛼(𝑙) al espacio de polinomios homogéneos fraccionarios de grado 𝑙 que satisfacen

�unable to handle picture here, no embed or link �unable to handle picture here, no embed or link �unable to handle picture here, no embed or link

√6 √3 √6

�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link− 𝑒₃, 𝑒₁ + 𝑒₃}.

6 3 3

Según la descomposición del Teorema 2 se tiene que

todo polinomio fraccionario 𝑃₂ de grado 2 admite la siguiente representación:

𝔼^𝛼𝑃_𝑙 = 𝛼Γ(𝛼)𝑙𝑃_𝑙 , donde 𝔼^𝛼 = ∑^𝑚

_𝑥𝛼 𝐶_𝜕𝛼

es el

𝑖=1 𝑖 + 𝑖

�unable to handle picture here, no embed or link𝜑,𝜓operador fraccionario de Euler. Sea ahora ℐ^𝛼 (𝑙) el

subespacio cerrado de Π_𝛼(𝑙) que contiene a los polinomios (𝜑, 𝜓) -inframonogénicos fraccionarios, o sea,

�unable to handle picture here, no embed or link𝜑 𝜓tales que 𝜕^𝜑𝑃 𝜕^𝜓 = 0 . Como consecuencia del análisis y

𝑃₂ = 𝑃₁ + 𝐼₂ + (𝑥^𝛼)𝐷(𝑥^𝛼),

𝛼 𝑙 𝛼

del cálculo de las relaciones que surgen entre el nuevo operador de Dirac y la variable fraccionaria se obtuvo el siguiente resultado:

Teorema 2. (Descomposición fraccionaria de Fischer completa). Para 𝑙 ≥ 2 la siguiente descomposición es válida:

donde 𝑃₁ es un polinomio fraccionario de grado a lo sumo

1 , 𝐼₂ es un polinomio (𝜑, 𝜓 ) -inframonogénico fraccionario de grado 2 y 𝐷 es una constante. Por tanto, el anterior problema de frontera se puede reducir a analizar los siguientes dos problemas de Dirichlet más sencillos:

𝑙

⌊₂⌋

𝜑 𝜓

Π (𝑙) = ⨁(𝑥^𝛼)^𝑠ℐ^𝛼 (𝑙 − 2𝑠)(𝑥^𝛼)^𝑠.

_{ 𝜕_𝛼 𝑔𝜕_𝛼 = 0 𝑒𝑛 𝐵 (0,1),

𝛼 𝜑 𝜑,𝜓 𝜓

𝑠=0

𝑔 = 𝑥²𝑒₂ 𝑒𝑛 𝜕𝐵(0,1),

�unable to handle picture here, no embed or link3y

La importancia de la descomposición presentada en el Teorema 2 se centra en que esta es una descomposición

𝜕^𝜑(𝑥^𝛼)𝐷(𝑥^𝛼)𝜕^𝜓 = 𝐶 𝑒𝑛 𝐵(0,1),

más refinada que la obtenida por polinomios biarmónicos.

_{ 𝛼 𝜑

𝜓 𝛼

(𝑥^𝛼)𝐷(𝑥^𝛼) = 0 𝑒𝑛 𝜕𝐵(0,1).

Este hecho posibilita la construcción de bases ortogonales para el espacio ℝ^𝑚[𝑥] a través de polinomios (𝜑, 𝜓 )- inframonogénicos fraccionarios, las cuales difieren de las ya conocidas. El siguiente ejemplo muestra cómo la anterior descomposición ayuda al tratamiento efectivo de

�unable to handle picture here, no embed or link𝛼 𝛼ciertos problemas de frontera para el operador 𝜕^𝜑(. ) 𝜕^𝜓, el

𝜑 𝜓

Particularmente, para 𝛼 = 1 el primero de estos problemas tiene como solución el polinomio

�unable to handle picture here, no embed or link𝑔 = [^√6 (𝑥² + 𝑥² + 𝑥² − 1) + 𝑥²] 𝑒

cual se presenta en generalizaciones naturales del sistema de Lamé-Navier en Elasticidad Lineal multidimensional.

₃ 1 2 3 3 2

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− ^√3 (𝑥² + 𝑥² + 𝑥² − 1)𝑒 𝑒 𝑒 ,

�unable to handle picture here, no embed or linkEjemplo 1. Considérese el espacio ℂ₃

problema de Dirichlet

y sea el siguiente

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₃ 1 2 3

1 2 3

𝜕^𝜑𝑓𝜕^𝜓 = 𝐶 𝑒𝑛 𝐵(0,1),

mientras que el segundo problema permite determinar la

constante 𝐷 , obteniendo una solución al problema original.

_{ 𝛼 𝛼

�unable to handle picture here, no embed or link3𝑓 = 𝑥²𝑒₂ 𝑒𝑛 𝜕𝐵(0,1),

donde 𝐵(0,1) denota a la bola unitaria de ℂ³, 𝐶 es una constante fija y,

A diferencia del caso armónico y monogénico, en general, los polinomios representados en la anterior descomposición no son mutuamente ortogonales con respecto al producto de Fischer. Sin embargo, sí se puede garantizar la ortogonalidad de los polinomios

(𝑥^𝛼)^𝑝𝐼 (𝑥^𝛼)^𝑝 y (𝑥^𝛼)^𝑞𝐼 (𝑥^𝛼)^𝑞 para cuando 0 <

�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link�unable to handle picture here, no embed or link𝜑 𝑙−2𝑝 𝜓 𝜑 𝑙−2𝑞 𝜓

√2 √2 √2 √2

𝑝, 𝑞 ≤ ⌊ ^𝑙⌋ con |𝑝 − 𝑞 | ≥ 2 . Si denotamos por ℋ^𝛼 (𝑙) al

𝜑 = {

𝑒 +

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�unable to handle picture here, no embed or link𝑒 , 𝑒 − 𝑒 , −𝑒 }, ²

𝜑,𝜓

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2 ¹ 2

�unable to handle picture here, no embed or link �unable to handle picture here, no embed or link

2 ₂ 1 ₂ 2 3

subespacio de Π_𝛼(𝑙) que contiene a los polinomios

(𝜑, 𝜓) -armónicos fraccionarios 𝑃 tales que 𝜕^𝜑𝜕^𝜓𝑃 = 0 ,

𝑙 𝛼 𝛼 𝑙

entonces siguiendo un procedimiento análogo resulta otra descomposición para 𝑙 ≥ 2:

𝑙

⌊₂⌋

Π_𝛼(𝑙) = ⨁(𝑥^𝛼𝑥^𝛼)^𝑠ℋ^𝛼 (𝑙 − 2𝑠).

Abreu-Blaya, R., Bory-Reyes, J., Guzmán, A., Kähler, U. (2017). On the φ-Hiperderivative of the ψ-Cauchy-Type Integral in Clifford Analysis. Computational Methods and Function Theory, 17, 101-119.

Doi.

𝑠=0

𝜓 𝜑

𝜑,𝜓

10.1007/s40315-016-0172-0

No obstante, la ortogonalidad de los polinomios en la representación anterior se pierde incluso para cuando

|𝑝 − 𝑞 | ≥ 2 y 𝑚 > 2 . El álgebra ℝ_0,2 ≃ ℍ(ℝ) es muy particular y suceden estos hechos curiosos que difieren de los obtenidos para dimensiones superiores. Para profundizar en las pruebas de estos resultados se remite al lector al trabajo reciente de Alfonso-Santiesteban et al. (2024).

Las descomposiciones de Fischer ayudan a encontrar bases ortonormales para el espacio de polinomios de ℝ^𝑚. En el caso específico de polinomios definidos sobre la superficie de una bola se obtiene la conocida descomposición por armónicos esféricos. El mero hecho de considerar funciones con una estructura puramente espinorial posibilita que se conforme un conjunto de descomposiciones de Fischer que se diferencian de las ya conocidas del Análisis Real. Las modernas técnicas del Análisis de Clifford permiten comprender otras de estas descomposiciones que antes no se tenían naturalmente y a la vez nos proporcionan algunas pautas esenciales que se establecen por la falta de conmutatividad en el producto geométrico.

El alto grado de flexibilidad que supone la consideración de conjuntos estructurales arbitrarios permite agrupar, de una manera elegante, una amplia gama de sistemas de ecuaciones en derivadas parciales que tienen una estrecha relación con la ecuación de Laplace, fórmulas alternativas de Kolosov-Muskhelishvili, transformadas de Ahlfors- Beurling, 𝜕-problemas y mapeos conformes. Con el uso también del Cálculo Fraccionario se obtuvieron descomposiciones de Fischer para el espacio de polinomios homogéneos de ℝ^𝑚 , las cuales ayudan a comprender algunos conceptos inherentes de la teoría de la supersimetría en Mecánica Cuántica. Se pudo constatar cómo la no conmutatividad del producto Cliffordiano en dimensiones superiores provoca el rompimiento de los resultados obtenidos para dimensiones menores.

Daniel Alfonso Santiesteban agradece al Secretaría de Ciencia, Humanidades, Tecnología e Innovación (SECIHTI) por una beca para estudios de posgrado (CVU: 1043969).

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